一、选择题部分
1. 真题解析
题目：设函数 ( f(x) = \frac{e^x}{1+x} )，则 ( f’(0) ) 的值为：
选项：
A. ( \frac{1}{2} )
B. ( \frac{1}{3} )
C. ( \frac{1}{4} )
D. ( \frac{1}{5} )
解析：利用洛必达法则求导，得到 ( f’(x) = \frac{e^x(1+x) - e^x}{(1+x)^2} )。将 ( x = 0 ) 代入，计算得 ( f’(0) = \frac{1}{2} )。故正确答案为 A。
2. 真题解析
题目：设 ( A ) 是 ( n ) 阶可逆矩阵，( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 ) 是 ( A ) 的三个不同特征向量，则下列结论正确的是：
选项：
A. ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 ) 必须线性无关
B. ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 ) 必须线性相关
C. ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 ) 可线性相关也可线性无关
D. ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 ) 必须是 ( A ) 的特征值
解析：由于 ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 ) 是 ( A ) 的不同特征向量，它们对应的特征值必然不同，因此 ( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 ) 必须线性无关。故正确答案为 A。
二、填空题部分
1. 真题解析
题目：设 ( \lim{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{1}{6} )，则 ( a = ) __________。
解析：利用泰勒公式展开 ( \sin x )，得 ( \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) )。代入原式，化简得 ( a = -\frac{1}{6} )。
2. 真题解析
题目：设 ( A ) 是 ( n ) 阶实对称矩阵，( A ) 的特征值和特征向量分别为 ( \lambda_1, \alpha_1 )，( \lambda_2, \alpha_2 )，( \lambda_3, \alpha_3 )，则 ( A ) 的行列式 ( \det(A) ) 等于：
解析：由于 ( A ) 是实对称矩阵，其特征值均为实数。由特征值的性质，( \det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 )。
三、解答题部分
1. 真题解析
题目：设 ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x )，求 ( f’(x) ) 的表达式，并求 ( f(x) ) 在 ( x = 2 ) 处的切线方程。
解析：对 ( f(x) ) 求导得 ( f’(x) = 3x^2 - 12x + 9 )。将 ( x = 2 ) 代入 ( f’(x) )，得切线斜率 ( k = 3 )。同时，( f(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 = 2 )。因此，切线方程为 ( y = 3x - 4 )。
2. 真题解析
题目：设 ( A ) 是 ( n ) 阶方阵，( \lambda ) 是 ( A ) 的一个特征值，证明：如果 ( \lambda \neq 0 )，则 ( A ) 的特征值 ( \mu ) 满足 ( \mu = \frac{\lambda}{\lambda - 1} )。
解析：设 ( \alpha ) 是 ( A ) 对应于特征值 ( \lambda ) 的特征向量，则 ( A\alpha = \lambda\alpha )。两边同时乘以 ( \frac{1}{\lambda} )，得 ( \frac{A}{\lambda}\alpha = \alpha )。设 ( \frac{A}{\lambda} ) 的特征值为 ( \mu )，则 ( \mu\alpha = \frac{A}{\lambda}\alpha )。因此，( \mu = \frac{\lambda}{\lambda - 1} )。