一、选择题解析
1. 真题解析
题目描述：设函数\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，求\(f'(1)\)。
答案：\(f'(1) = -2\)
解析：这是一个基本的导数计算题。根据导数的定义，我们有 $\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)\( 将\)f(x) = x^3 - 3x + 2\(代入，得到 \)\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - 3(x+h) + 2 - (x^3 - 3x + 2)}{h} \)\( 化简得 \)\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 3h - 3x + 2}{h} \)\( \)\( = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 - 3 - 3x + 2) \)\( \)\( = 3x^2 - 3x - 1 \)\( 将\)x = 1\(代入，得到\)f’(1) = -2$。
2. 真题解析
题目描述：设\(a > 0\)，\(b > 0\)，求\(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+ax} - \sqrt{1+bx}}{x}\)。
答案：\(\frac{a-b}{2}\)
解析：这是一个基本的极限计算题。根据极限的运算法则，我们有 $\( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+ax} - \sqrt{1+bx}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{1+ax} - \sqrt{1+bx})(\sqrt{1+ax} + \sqrt{1+bx})}{x(\sqrt{1+ax} + \sqrt{1+bx})} \)\( \)\( = \lim_{x \to 0} \frac{(1+ax) - (1+bx)}{x(\sqrt{1+ax} + \sqrt{1+bx})} \)\( \)\( = \lim_{x \to 0} \frac{a-b}{\sqrt{1+ax} + \sqrt{1+bx}} \)\( 将\)a > 0\(，\)b > 0\(代入，得到\)\frac{a-b}{2}$。
二、填空题解析
1. 真题解析
题目描述：设\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(c > 0\)，\(a+b+c=1\)，求\(\lim_{x \to 0} \frac{a\ln(1+x) + b\ln(1+x) + c\ln(1+x)}{x}\)。
答案：\(a+b+c\)
解析：这是一个基本的极限计算题。根据极限的运算法则，我们有 $\( \lim_{x \to 0} \frac{a\ln(1+x) + b\ln(1+x) + c\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{a\ln(1+x) + b\ln(1+x) + c\ln(1+x)}{x} \)\( \)\( = \lim_{x \to 0} \frac{a\ln(1+x) + b\ln(1+x) + c\ln(1+x)}{x} \)\( \)\( = a+b+c \)$
2. 真题解析
题目描述：设\(f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\)，求\(f'(x)\)。
答案：\(f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\)
解析：这是一个基本的导数计算题。根据导数的定义，我们有 $\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)\( 将\)f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}\(代入，得到 \)\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2 + 1} - \frac{1}{x^2 + 1}}{h} \)\( 化简得 \)\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x^2 + 1) - ((x+h)^2 + 1)}{h(x^2 + 1)((x+h)^2 + 1)} \)\( \)\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h(x^2 + 1)((x+h)^2 + 1)} \)\( \)\( = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{(x^2 + 1)((x+h)^2 + 1)} \)\( \)\( = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \)$