一、填空题
1. 若函数 \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)，则 \(f''(x) = \frac{d^2}{dx^2} \left(\frac{\ln x}{x}\right) = -\frac{1 - \ln x}{x^2}\)。
2. 设 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x + \sin x}{x^3} = 2\)，则 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 2x}{x} = -1\)。
3. 三阶行列式 \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}\) 的值为 \(a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\)。
二、选择题
4. 设 \(f(x) = \sin x - \cos x\)，则 \(f'(x) = \cos x + \sin x\)。
5. 设 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，\(B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}\)，则 \(A + B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}\)。
三、解答题
6. 解微分方程 \(\frac{dy}{dx} = e^x \cos y\)。
设 \(y = \arcsin v\)，则 \(v = \sin y\)，\(\frac{dv}{dx} = \cos y \frac{dy}{dx}\)。代入原方程得 \(\cos y \frac{dv}{dx} = e^x \sin y\)，即 \(\frac{dv}{dx} = \frac{e^x}{\cos y}\)。两边同时积分得 \(v = \int \frac{e^x}{\cos y} dx = \int e^x \sec y dy\)。
因为 \(v = \sin y\)，所以 \(dv = \cos y dy\)。因此，\(dv = e^x \sec y dy\)。对上式积分，得到 \(v = \frac{e^x}{\tan y} + C\)。代入 \(v = \sin y\) 得 \(\sin y = \frac{e^x}{\tan y} + C\)，解得 \(y = \arcsin \left(\frac{e^x}{\tan y} + C\right)\)。
7. 求函数 \(f(x) = e^{-x} (x^2 + 1)^2\) 的二阶导数。
先求一阶导数： $\( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{-x} (x^2 + 1)^2 \right) = -e^{-x} (x^2 + 1)^2 + e^{-x} \cdot 2(x^2 + 1) \cdot 2x = e^{-x} (x^2 + 1)(- (x^2 + 1) + 4x^2) \)$
再求二阶导数： $\( f''(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{-x} (x^2 + 1)(3x^2 + 1) \right) = -e^{-x} (3x^2 + 1) - 2e^{-x} x(3x^2 + 1) + e^{-x} (3x^2 + 1) \cdot 6x \)$
简化得： $\( f''(x) = e^{-x} (6x^3 - x - 1) \)$
8. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2\sin x}{x^3}\)。
利用泰勒公式展开 \(\sin x\) 和 \(\sin 2x\)： $\( \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3), \quad \sin 2x = 2x - \frac{2x^3}{3} + o(x^3) \)$
代入原极限表达式得： $\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2\sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2x - \frac{2x^3}{3} - 2x + \frac{x^3}{6}}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{2x^3}{3} + \frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{2} \)$
以上即为2005年考研数学一真题的答案及解析，希望对同学们有所帮助。